Znate li šta je Fibonačijev niz?

Šta je zapravo Fibonačijev niz?

Jednostavno rečeno, Fibonačijev niz je niz brojeva u kojem je svaki sledeći broj jednak zbiru prethodna dva. Niz uvek počinje sa 0 i 1.

Izgleda ovako:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Kako to funkcioniše?

0+1=1
1+1=2
1+2=3
2+3=5
… i tako u nedogled.

Matematički zapis (rekurencija):
F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), uz početne vrednosti F(0)=0 i F(1)=1.

Primer u Python-u

def fib(n):
    if n <= 1:
        return n
    else:
        return fib(n-1) + fib(n-2)

# Ispis prvih 10 članova niza
for i in range(10):
    print(fib(i), end=' ')

# Rezultat: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34

📜 Kratak istorijat: od zečeva do beskonačnosti

Iako je niz bio poznat indijskim matematičarima vekovima ranije, na Zapadu ga je popularizovao italijanski matematičar Leonardo od Pize (Fibonači). U knjizi Liber Abaci (1202) postavio je čuveni problem o reprodukciji zečeva, čije rešenje vodi do sekvence koja danas nosi njegovo ime i čije primene daleko prevazilaze izvorni model populacije.

🌻 Zlatni presek: kada matematika postane umetnost

Fibonačijev niz ima blisku vezu sa zlatnim presekom (φ ≈ 1.618). Odnos uzastopnih brojeva niza (npr. 8/5, 13/8, 21/13) teži ovoj vrednosti. Zlatni presek se često vezuje za estetski prijatne proporcije i pojavljuje se u:

• rasporedu latica i semenki kod suncokreta,
• spiralama školjki i šišarki,
• proporcijama ljudskog tela,
• arhitekturi (npr. Partenon) i vizuelnom dizajnu.

💻 Upotreba u tehnologiji i nauci

Računarske nauke i algoritmi

• Testiranje rekurzije i optimizacija algoritama.
• Pojavljuje se u strukturama podataka kao što je Fibonacci heap (efikasno upravljanje prioritetima).
• Algoritmi pretrage kao Fibonacci Search za sortirane nizove.

Digitalna grafika i dizajn

Zlatni presek izveden iz niza koristi se za kompoziciju i proporcije u UI/UX dizajnu, web rasporedima i logotipima.

Finansije i trgovina

U tehničkoj analizi koriste se Fibonacci retracement nivoi za procenu mogućih tačaka preokreta cena.

Biologija i genetika

Spiralni obrasci u prirodi (suncokret, šišarke, ananas) često prate parove uzastopnih Fibonačijevih brojeva. U modelima rasta i strukturnim odnosima (npr. heliks DNK) javljaju se proporcije povezane sa nizom.

Muzika i arhitektura

Proporcije fraza, taktova i instrumenata ponekad slede Fibonačijev niz; u arhitekturi zlatni presek doprinosi osećaju sklada.

⚙️ Praktični primeri

❓ Pitanja i odgovori (FAQ)

Da li je Fibonačijev niz beskonačan?
Da. Svaki sledeći broj je zbir prethodna dva i niz se matematički ne završava.

Postoji li negativna verzija Fibonačijevog niza?
Da, postoji tzv. negafibonacci niz koji proširuje sekvencu na negativne indekse uz pravilo F(n−2) = F(n) − F(n−1).

Kako se koristi u veštačkoj inteligenciji?
U optimizaciji hiperparametara i evolutivnim algoritmima ponekad se koristi fibonačijevsko skaliranje iteracija ili veličine populacije radi efikasnijeg pretraživanja prostora rešenja.

📚 Gde mogu da naučim više?

• Khan Academy – Fibonacci Numbers & Golden Ratio
• Wikipedia – Fibonacci number
• Math is Fun – Fibonacci Sequence

💡 Zaključak

Fibonačijev niz nije samo matematička zanimljivost, već univerzalni jezik prirode, umetnosti i tehnologije. Od oblika galaksija do algoritama u našim računarima, od muzičkih proporcija do dizajna pametnih telefona — ovaj niz pokazuje da matematika nije suva teorija, već temelj mnogo čega što nas okružuje.